Trùng trùng duyên khởi trong Toán học (Lê Hữu Dũng)

Khi còn học phổ thông, tôi đọc trong một cuốn sách minh họa hình học: Điểm (như là) một “cái gì đó” không có “bề dày, bề rộng, bề ngang”, đường thẳng thì “dài” vô hạn, “mảnh” vô cùng, còn mặt phẳng thì “mỏng” vô cùng và “rộng” vô hạn. Thật khó hiểu! Như vậy chúng là vô hình ư? Vô hình sao tạo nên vũ trụ hữu hình? Là hư vô? Hư vô sao lại tạo thành trùng trùng hiện hữu? Thế rồi bao nhiêu năm dài đằng đẵng trôi qua tôi mới dần ngộ ra. Thì ra bài học vỡ lòng về hình học lại là một minh họa toán học cho tư tưởng Duyên khởi trong Phật pháp.

HỆ TIÊN ĐỀ HÌNH HỌC EUCLIDE 

Thuật ngữ

Điểm: = A, B, C … Đường thẳng: = a, b, c, d… Mặt phẳng: = (P), (Q), (R)   

Phần tử  x thuộc tập A: =

Tập hợp A chứa trong tập hợp B: =

Tiên đề   

1) Qua 2 điểm phân biệt tồn tại duy nhất 1 đường thẳng d.

2) Qua 3 điểm không cùng thuộc 1 đường thẳng, tồn tại  duy nhất 1 mặt phẳng.

3) Nếu đường thẳng d có 2 điểm thuộc mặt phẳng (P) thì d chứa trong (P).

4) Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì chúng có chung 1 đường thẳng gọi là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.

5) Trong mặt phẳng, qua 1 điểm không thuộc đường thẳng d, tồn tại duy nhất 1 đường thẳng không có điểm chung với d.  

Như vậy, để “biết” điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ngôn ngữ không thể bảo chúng là cái gì (what) mà phải mô tả thế nào (how) bằng một hệ tiên đề trong đó “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” chỉ là các kí hiệu thuật ngữ, các quy ước đi kèm với các khái niệm “quan hệ” khác (tồn tại, thuộc, chứa trong) để nối kết chúng lại thông qua các tiên đề (công lý) mà ta công nhận không chứng minh. Cái này có bởi vì cái kia có. Không có cái nào có một hiện hữu tự thân. Điều này tương đồng kì lạ với tư tưởng “Duyên khởi” (Dependent origination) trong Đạo Phật: “Các hiện tượng tự thân chúng không là gì cả. Sở dĩ chúng có được bản chất của  mình là nhờ vào sự phụ thuộc lẫn nhau. Tất cả đều duyên khởi từ Tánh không. Một trong tất cả, tất cả trong Một!” (trích dẫn Trịnh xuân Thuận – Vô hạn trong lòng bàn tay).

Với những “hạt” (điểm) và các “tương tác” (quan hệ) cơ bản, trong các tiên đề trên, thông qua thiết kế trùng trùng các khái niệm mới và định lý mới, các nhà toán học tạo nên một vũ trụ hình học Euclide sâu sắc, diệu kỳ. Xin hé mở một trong vô hạn những căn phòng ấn tượng của lâu đài kỳ vĩ đó:

ĐỊNH LÝ PASCAL 

“Ba giao điểm của các cạnh đối diện của hình lục giác nội tiếp trong một conic nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Pascal của lục giác)” (Blaise Pascal – nhà toán học Pháp)

Ứng với 6 điểm trên conic, ta có 60 lục giác khác nhau, phát sinh 60 đường thẳng Pascal khác nhau. Trong 60 đường đó, cứ 3 đường một đi qua 20 điểm gọi là điểm Steiner, các điểm này lại cứ 4 điểm một nằm trên 15 đường thẳng gọi là đường thẳng Plucker. Các đường Pascal cứ 3 đường một lại đồng quy trong một tập gồm 60 điểm khác gọi là các điểm Kirkman. Ứng với mỗi điểm Steiner có 3 điểm Kirkman sao cho cả 4 điểm đó đều nằm trên 1 đường thẳng gọi là đường thẳng Cayley. Có 20 đường thẳng Cayley như thế, trong đó cứ 4 đường một lại đi qua 15 điểm gọi là các điểm Salmon … Cứ thế, trùng trùng Duyên khởi, định lý Pascal mở ra những cảnh giới viên dung vô ngại. Tất cả đồng hiện trong một liên thông “Cục bộ – Toàn thể” hoàn hảo . 

Điều này làm ta liên tưởng đến “Lưới trời Đế Thích” trong kinh Phật. Đó là một màn lưới làm bằng vô số viên ngọc trong suốt. Khi đứng trước vũ trụ làm bằng những vi trần ngọc sáng như gương ấy, hình ảnh của chúng ta hiện bóng khắp trong mỗi vi trần gương ngọc và mỗi vi trần gương ngọc lại phản chiếu lẫn nhau, thành ra một thế giới trùng trùng ảnh hiện. Tất cả là một, một là tất cả! Như diễn đạt của Thiền sư Khánh Hỷ đời Lý:

Càn khôn tận thị mao đầu thượng,

Nhật nguyệt bao hàm giới tử trung.

(Càn khôn ở trên đầu một sợi lông

Nhật nguyệt chứa trong lòng hạt cải).

 

Hoặc như thi sĩ người Anh William Blakes:

“To see a World in a Grain of  Sand

And a Heaven in a Wild Flower,

Hold Infinity in the palm of your hand

And Eternity in an hour”.

 

(Để thấy vũ trụ trong một hạt cát

Và thiên đường trong một đóa hoa dại

Hãy nắm vô cùng trong lòng tay bạn

Và vĩnh cửu trong giây phút hiện tiền).

Tất cả là một, một là tất cả!
Như diễn đạt của Thiền sư Khánh Hỷ đời Lý:
“Càn khôn tận thị mao đầu thượng,
Nhật nguyệt bao hàm giới tử trung”.
(Càn khôn ở trên đầu một sợi lông
Nhật nguyệt chứa trong lòng hạt cải).

Trùng trùng duyên khởi trong Toán học (Lê Hữu Dũng)

Trả lời